Hubo un tiempo en el que las matemáticas se realizaban unicamente con papel y pluma. Esas matemáticas permitían acceder a verdades absolutas, a las que se llegaba por razonamientos puramente formales, independientes de la experiencia. Los matemáticos se vanagloriaban de ello y llamaban a su disciplina ciencia exacta. Pero esas matemáticas tenían una pega a pesar de que sus métodos eran poderosos, no contaban con la capacidad de resolver muchos de los problemas que se planteaban. En la década de 1940, los científicos que estaban intentando desarrollar la bomba atómica en el Laboratorio Nacional de los Álamos, en Estados Unidos, se encontraron con uno de esos problemas. Y la solución pasó por emplear técnicas de cálculo numérico basadas en la ejecución masiva de cálculos sencillos. Pero no realizados por humanos, sino por máquinas programadas por humanos. Y aunque el resultado ya no podía ser calificado de ciencia exacta, ofrecía soluciones matemáticas más próximas a la vida real. En este volumen se abordan la integración polinómica, la integración numérica, la ecuación diferencial y, a través de aproximaciones sucesivas, se busca el punto que da la solución de una ecuación.
CÁLCULO NUMÉRICO
El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas encargada de diseñar algoritmos para simular aproximaciones de solución a problemas en análisis matemático. Se distingue del cómputo simbólico en que no manipula expresiones algebraicas, sino números.
El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero en última instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples.
Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números.
Definido el error, junto con el error admisible, pasamos al concepto de estabilidad de los algoritmos. Muchas de las operaciones matemáticas pueden llevarse adelante a través de la generación de una serie de números que a su vez alimentan de nuevo el algoritmo (feedback). Esto proporciona un poder de cálculo y refinamiento importantísimo a la máquina que a medida que va completando un ciclo va llegando a la solución. El problema ocurre en determinar hasta cuándo deberá continuar con el ciclo, o si nos estamos alejando de la solución del problema.
Finalmente, otro concepto paralelo al análisis numérico es el de la representación, tanto de los números como de otros conceptos matemáticos como los vectores, polinomios, etc. Por ejemplo, para la representación en ordenadores de números reales, se emplea el concepto de coma flotante que dista mucho del empleado por la matemática convencional.
En general, estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numérico como solución a un problema matemático, y los procedimientos «exactos» o «analíticos» (manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de integración, etc.) son incapaces de dar una respuesta. Debido a ello, son procedimientos de uso frecuente por físicos e ingenieros, y cuyo desarrollo se ha visto favorecido por la necesidad de estos de obtener soluciones, aunque la precisión no sea completa. Debe recordarse que la física experimental, por ejemplo, nunca arroja valores exactos sino intervalos que engloban la gran mayoría de resultados experimentales obtenidos, ya que no es habitual que dos medidas del mismo fenómeno arrojen valores exactamente iguales.
Por ejemplo, las ecuaciones diferenciales ordinarias aparecen en la mecánica celeste para la predicción de los movimientos de planetas, estrellas y galaxias; el álgebra lineal numérica es importante para el análisis de datos; Las ecuaciones diferenciales estocásticas y las cadenas de Markovs son esenciales en la simulación de células vivas para la medicina y la biología.
Antes de la llegada de los ordenadores modernos, los métodos numéricos dependían a menudo de fórmulas de interpolación manuales aplicadas a los datos de grandes tablas impresas. Desde mediados del siglo XX, los ordenadores calculan las funciones necesarias en su lugar, pero muchas de las mismas fórmulas siguen utilizándose, no obstante, como parte de los algoritmos del software.
El punto de vista numérico se remonta a los primeros escritos matemáticos. Una tablilla de la Colección Babilónica de Yale (YBC 7289), da una aproximación numérica sexagesimal de la raíz cuadrada de 2, la longitud de la diagonal en un cuadrado unitario.
El análisis numérico continúa esta larga tradición: en lugar de respuestas simbólicas exactas, que solo pueden aplicarse a las mediciones del mundo real mediante la traducción a dígitos, da soluciones aproximadas dentro de límites de error especificados.
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Autor(es): Rafael Pla-López
Editorial: EMSE EDAPP
Páginas: 144
Tamaño: 16 x 23,5 cm.
