sábado, 6 de enero de 2018

Video 303: Viaje a las profundidades del fractal de Mandelbrot





El conjunto de Mandelbrot es el más conocido de los conjuntos fractales y el más estudiado. Se conoce así en honor al matemático Benoît Mandelbrot (1924-2010), que investigó sobre él en los años setenta.

Este conjunto se define así, en el plano complejo:

Sea c un número complejo cualquiera. A partir de c, se construye una sucesión por recursión:


{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}z_{0}&=&0\qquad \ &{\mbox{(término inicial)}}\qquad \\z_{n+1}&=&z_{n}^{2}+c&{\mbox{(relación de inducción)}}\end{matrix}}\right.}

Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice que c pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido del mismo.

Por ejemplo, si c = 1 obtenemos la sucesión 0, 1, 2, 5, 26… que diverge. Como no está acotada, 1 no es un elemento del conjunto de Mandelbrot.

En cambio, si c = –1 obtenemos la sucesión 0, –1, 0, –1,… que sí es acotada, y por tanto, –1 sí pertenece al conjunto de Mandelbrot.

A menudo se representa el conjunto mediante el algoritmo de tiempo de escape. En ese caso, los colores de los puntos que no pertenecen al conjunto indican la velocidad con la que diverge (tiende al infinito, en módulo) la sucesión correspondiente a dicho punto. En la imagen de ejemplo, observamos que el rojo oscuro indica que al cabo de pocos cálculos se sabe que el punto no está en el conjunto mientras que el blanco informa de que se ha tardado mucho más en comprobarlo. Como no se puede calcular un sinfín de valores, es preciso poner un límite y decidir que si los p primeros términos de la sucesión están acotados entonces se considera que el punto pertenece al conjunto. Al aumentar el valor de p se mejora la precisión de la imagen.

Por otra parte, se sabe que los puntos cuya distancia al origen es superior a 2, es decir, x^{2}+y^{2}\geq 4 no pertenecen al conjunto. Por lo tanto basta encontrar un solo término de la sucesión que verifique |zn| > 2 para estar seguro de que c no está en el conjunto.

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