Libro: Series y sucesiones. Los límites del infinito

 

 

Las series matemáticas, por su ubicuidad y su versatilidad. constituyen un pilar fundamental del cálculo moderno y han sido la antesala histórica del pensamiento infinitesimal desarrollado posteriormente por Leibniz, Newton, Riemann y Lebesgue, entre otros. Objetos matemáticos aparentemente más sofisticados como las derivadas y las integrales no dejan de ser límites y sumas infinitos, profundamente emparentados en un nivel conceptual con las sucesiones y las series.

 

SUCESIÓN

En analisis matemático y en álgebra, una sucesión es una secuencia de números u otros objetos matemáticos relacionados entre sí, en la que se tiene en cuenta la posición relativa de cada número respecto del anterior. Por ejemplo (3, 5, 7, 9...) es una sucesión con números impares consecutivos mayores que 1, y (2, 4, 8, 16...) es una sucesión con las potencias de 2. La sucesión se define matemáticamente como una aplicación cuyo dominio es el conjunto de los números naturales y su codominio es cualquier otro conjunto, generalmente de números de diferente naturaleza, también pueden ser figuras geométricas o funciones; es decir, a cada posición de la secuencia índice 1, 2, 3, 4... se le asocia un objeto que le corresponde en el conjunto de destino. Cada uno de ellos es denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión. No debe confundirse con una serie matemática, que es el número resultante de sumar todos los términos de una sucesión infinita. A diferencia de un conjunto, el orden en que aparecen los términos sí es relevante y un mismo término puede aparecer en más de una posición. De manera formal, una sucesión puede definirse como una función sobre el conjunto de los números naturales (o un subconjunto del mismo) y es por tanto una función discreta. Por ejemplo, la sucesión (A, B, C ) es una sucesión de letras que difiere de la sucesión (C, A, B ). En este caso se habla de sucesiones finitas (de longitud igual a 3). Un ejemplo de sucesión infinita sería la sucesión de números positivos pares: 2, 4, 6, 8… En ocasiones se identifica a las sucesiones finitas con palabras sobre un conjunto. Puede considerarse también el caso de una sucesión vacía (sin elementos), pero este caso puede excluirse dependiendo del contexto. 

 

SERIE

En matemática, una serie es la generalización de la noción de suma, aplicada a los infinitos términos de una sucesión ${\displaystyle \{a_n\}=\{a_1,a_2,\cdots \}}$, lo que suele escribirse con el símbolo de sumatorio:

${\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+\cdots }$

donde ${\displaystyle a_n}$ es el «término general» de la sucesión, que usualmente se expresa por medio de un regla, o se obtiene a partir de un algoritmo.

A diferencia de las sumas finitas, las series requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. El estudio de las series consiste en evaluar la suma de un número finito ${\displaystyle N}$ de términos sucesivos, y mediante un paso al límite, identificar el comportamiento de la serie a medida que ${\displaystyle N}$ crece indefinidamente.

${\displaystyle S=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_N=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{n=1}^N{a}_n.}$

Cuando este límite existe, lo cual no siempre ocurre, se dice que la serie es convergente. Existe una gran cantidad de métodos para determinar la convergencia de las series, sin necesidad de calcular explícitamente el valor de la serie.

La noción de serie se puede generalizar a otros objetos matemáticos para los cuales la operación suma esté definida, tal como los números, los vectores, las matrices, las funciones... De particular interés en matemáticas son las series de potencias..

Durante mucho tiempo, la idea de que tal potencialmente infinito de la suma pudiera producir un resultado finito fue considerada paradójica. Esta paradoja se resolvió utilizando el concepto de límite durante el siglo XVII. La paradoja de Zenón de Aquiles y la tortuga ilustra esta propiedad contraintuitiva de las sumas infinitas: Aquiles corre detrás de una tortuga, pero cuando alcanza la posición de la tortuga al principio de la carrera, la tortuga ha alcanzado una segunda posición; cuando alcanza esta segunda posición, la tortuga está en una tercera posición, y así sucesivamente. Zeno llegó a la conclusión de que Aquiles no podría nunca alcanzar a la tortuga, y por tanto ese movimiento no existe. Zenón dividió la carrera en infinitas subcarreras, cada una de las cuales requiere una cantidad finita de tiempo, de modo que el tiempo total para que Aquiles alcance a la tortuga viene dado por una serie. La resolución de la paradoja es que, aunque la serie tiene un número infinito de términos, tiene una suma finita, que da el tiempo necesario para que Aquiles alcance a la tortuga.

En terminología moderna, cualquier secuencia infinita (ordenada) ${\displaystyle (a_1,a_2,a_3,\dots )}$ de términos (es decir, números, funciones, o cualquier cosa que se pueda sumar) define una serie, que es la operación de sumar los a_i uno tras otro. Para enfatizar que hay un número infinito de términos, una serie puede llamarse una serie infinita. Una serie de este tipo se representa (o denota) mediante una expresión como

${\displaystyle a_1+a_2+a_3+\cdots ,}$

o, utilizando el signo de suma,

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_i.}$

La secuencia infinita de sumas que implica una serie no puede llevarse a cabo de forma efectiva (al menos en un tiempo finito). Sin embargo, si el conjunto al que pertenecen los términos y sus sumas finitas tiene una noción de límite, a veces es posible asignar un valor a una serie, llamado suma de la serie. Este valor es el límite a medida que n tiende a infinito (si el límite existe) de las sumas finitas de los n primeros términos de la serie, que se llaman las nésimas sumas parciales de la serie. Es decir,

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_i=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n{a}_i.}$

Cuando existe este límite, se dice que la serie es convergente o sumable, o que la sucesión ${\displaystyle (a_1,a_2,a_3,\dots )}$ es sumable. En este caso, el límite se llama suma de la serie. En caso contrario, se dice que la serie es divergente.

La notación :${\displaystyle \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_i}$ denota tanto la serie -es decir, el proceso implícito de sumar los términos uno tras otro indefinidamente- como, si la serie es convergente, la suma de la serie -el resultado del proceso-. Esta es una generalización de la convención similar de denotar por ${\displaystyle a+b}$ tanto la adición-el proceso de sumar-y su resultado-la suma de a y b.

Generalmente, los términos de una serie proceden de un anillo, a menudo el campo. ${\displaystyle \mathbb{R}}$ de los números reales o el campo ${\displaystyle \mathbb{C}}$ de los números complejos. En este caso, el conjunto de todas las series es a su vez un anillo (e incluso un álgebra asociativa), en el que la suma consiste en sumar las series término a término, y la multiplicación es el producto de Cauchy.

 

MÁS INFORMACIÓN

• Libro: Un paseo por los espacios n-dimensionales. Descubrir el álgebra lineal 
• Libro: El infinito ¿Es un viaje o un destino? 
• Libro: Kolmogórov. La dualidad entre el caos y la determinación

 

Autor(es): Ángel M. Núñez

Editorial: EMSE EDAPP

Páginas: 140

Tamaño: 16 x 23,5 cm.

Año: 2023