Definido por el matemático Bernard Epstein (1920-2005) como el estudio de algunas estructuras algebraicas-topológicas y su consecuente aplicación a problemas más allá de los números y los cálculos, el análisis funcional fue la piedra angular del desarrollo intelectual del periodo de entreguerras.
A pesar de las dificultades que supuso la ocupación nazi, Polonia se erigió como sede de una de las escuelas matemáticas más importantes del siglo XX, gracias al trabajo de personajes como Hugo Dionizy Steinhaus (1887-1972).
No obstante haber recibido clases de la élite de la época –Bernstein, Carathéodory, Klein, Zermelo y Courant–, su ascendencia judía lo obligó a vivir oculto, a la sombra de una documentación falsa –la de un guardabosques que había fallecido previamente, de nombre Grzegorz Krochmalny– suministrada por la resistencia polaca antinazi para que pudiese seguir su labor como profesor de matemáticas.
Gracias a este ejercicio y a la reconstrucción de sus memorias matemáticas durante sesiones de escritura en sus tiempos libres (la falta de acceso a cualquier material académico lo llevó a no olvidar lo que había aprendido en la Universidad de Lwów), construyó una fructífera bibliografía de 170 artículos con importantes aportes al análisis funcional, al análisis armónico y a las series trigonométricas.
“Sin embargo, su descubrimiento más importante, como él mismo confesaba, fue Stefan Banach”, escriben Pedro J. Miana y Natalia Romero en el libro Análisis funcional. Una historia de matemáticos en las trincheras, que hace parte de la colección Grandes Ideas de las Matemáticas.
Por sus aportes en la consolidación de los cimientos del análisis funcional, como una nueva disciplina de las matemáticas con aplicaciones fundamentales en las ciencias naturales y en la física, Stefan Banach (1892-1945) no solo recibió el testimonio de su discípulo, sino que fundó la escuela de matemáticas de Lwów, pionera de la tradición numérica polaca que, tras la Segunda Guerra Mundial, fue perpetuada en territorio francés mediante las investigaciones en torno a las estructuras de los espacios vectoriales topológicos.
Fuente: https://www.eltiempo.com
ANÁLISIS FUNCIONAL
El análisis funcional es la rama de las matemáticas, y específicamente del análisis, que trata del estudio de espacios de funciones.1 Tienen sus raíces históricas en el estudio de transformaciones tales como transformación de Fourier y en el estudio de las ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales. La palabra funcional se remonta al cálculo de variaciones, implicando una función cuyo argumento es una función. Su uso en general se ha atribuido a Volterra.
En la visión moderna inicial, se consideró el análisis funcional como el estudio de los espacios vectoriales normados completos sobre los reales o los complejos. Tales espacios se llaman espacios de Banach. Un ejemplo importante es el espacio de Hilbert, donde la norma surge de un producto escalar. Estos espacios son de importancia fundamental en la formulación matemática de la mecánica cuántica. Más general y modernamente, el análisis funcional incluye el estudio de los espacios de Fréchet y otros espacios vectoriales localmente convexos y aún topológicos.
Un objeto importante de estudio en análisis funcional son los operadores lineales continuos definidos en los espacios de Banach y de Hilbert. Estos conducen naturalmente a la definición de C* álgebra y otras álgebras de operadores.
Los espacios de Hilbert pueden ser clasificados totalmente: hay un espacio único de Hilbert módulo isomorfismo para cada cardinal de la base (hilbertiana). Puesto que los espacios de Hilbert finito-dimensionales se entienden completamente en álgebra lineal, y puesto que los morfismos de los espacios de Hilbert se pueden dividir siempre en morfismos de espacios con dimensionalidad alef-0 (), análisis funcional de Hilbert trata sobre todo con el espacio único de Hilbert de dimensionalidad alef-0, y sus morfismos.
Los espacios de Banach generales son mucho más complicados que los espacios de Hilbert. Dado que un espacio de Banach es un espacio vectorial, una base es un sistema de generadores linealmente independiente. Este concepto, cuando la dimensión no es finita, suele carecer de utilidad; lo sustituye el de conjunto fundamental. Un conjunto de vectores es fundamental si la clausura topológica del subespacio vectorial que engendra es el espacio completo. Dado que un vector pertenece a su clausura topológica si es el límite de una sucesión de vectores del subespacio vectorial engendrado, descubrimos que, en caso de disponer de un conjunto fundamental, podemos poner todo vector del espacio como el límite de una sucesión de combinaciones lineales de los vectores de un conjunto fundamental.
Un ejemplo de lo anterior es el teorema de aproximación de Weierstrass que afirma que toda función real continua en un intervalo compacto puede ser aproximada mediante polinomios. El espacio de Banach es, en este caso, el conjunto de las funciones continuas en un compacto y el conjunto fundamental las potencias enteras del argumento. Este teorema se extiende mediante el teorema de Stone-Weierstrass.
Para cualquier número real p ≥ 1, un ejemplo de un espacio de Banach viene dado por los espacios Lp.
En los espacios de Banach, una gran parte del estudio involucra al espacio dual: el espacio de todas funcionales lineales continuas. Como en álgebra lineal, el dual del dual no es siempre isomorfo al espacio original, pero hay un monomorfismo natural de un espacio en su doble dual siempre. Esto se explica en el artículo espacio dual.
La noción de derivada se amplía a las funciones arbitrarias entre los espacios de Banach; resulta que la derivada de una función en cierto punto es realmente una función lineal continua.
Un ejemplo de espacio de Banach es el Espacio de Sóbolev.
Aquí enumeramos algunos resultados importantes del análisis funcional:
- Teorema de Banach-Steinhaus es un resultado en conjuntos equicontinuos de operadores.
- Teorema espectral da una fórmula integral para los operadores normales en un espacio de Hilbert. Es de importancia central en la formulación matemática de la mecánica cuántica.
- Teorema de Hahn-Banach es sobre la extensión de funcionales continuos desde un subespacio a todo el espacio, de una manera que preserve la norma.
- Teorema de la función abierta y teorema de la gráfica cerrada.
- Teorema del punto fijo de Banach
Fuente: https://www.ugr.es
Por: Ángel Rodriguez Palacios. Catedrático de la Universidad de Granada
MÁS INFORMACIÓN
- Libro: La revolución algebraica. El nacimiento de la teoría de grupos. Grandes Ideas de las Matematicas
- Libro: Teoría de la medida ¿Habrá más átomos que estrellas? Grandes Ideas de las Matematicas
- Libro:
La hipótesis de Riemann. El eslabón perdido entre los números primos y
la mecánica cuántica. Grandes Ideas de las Matematicas
Autor(es): Pedro J. Miana y Natalia Romero
Editorial: EMSE EDAPP
Páginas: 144
Tamaño: 16 x 23,5 cm.
