Libro: La hipótesis de Riemann. El eslabón perdido entre los números primos y la mecánica cuántica. Grandes Ideas de las Matematicas

 

 

En la mañana del 8 de agosto de 1900, el matemático David Hilbert, invitado al Congreso Internacional de Matemáticas que tiene lugar en París, comienza su charla. Contra todo pronóstico, decide centrarla en proponer una lista de veintitrés problemas no resueltos de la historia de las matemáticas, a los que cree que la comunidad científica debe dedicarse en el futuro. De la lista presentada entonces por Hilbert, el problema número 8 corresponde a la hipótesis de Riemann y es el único que a día de hoy permanece sin resolver, y no es porque no se haya intentado. Con la formulación del problema, en 1859, Riemann trataba de dotar de estructura a los seres más salvajes de la naturaleza matemática, los números primos. Este libro nos introduce en los fascinantes vericuetos de este reto matemático.

HIPÓTESIS DE RIEMANN

En matemáticas puras, la hipótesis de Riemann, formulada por primera vez por Bernhard Riemann en 1859, es una conjetura sobre la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann ζ(s). La hipótesis de Riemann, por su relación con la distribución de los números primos en el conjunto de los naturales, es uno de los problemas abiertos más importantes en la matemática contemporánea.​ El Instituto Clay de Matemáticas ha ofrecido un premio de un millón de dólares a la primera persona que desarrolle una demostración correcta de la conjetura.

La función zeta de Riemann ζ(s) está definida en los números complejos como la suma de una serie infinita de la siguiente forma:

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\cdots }$

y es convergente cuando la parte real es estrictamente mayor que 1. Leonhard Euler (que murió 43 años antes de que Riemann naciera) demostró que esta serie equivale al producto de Euler:

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p\text{ primo}}\frac{1}{1-p^{-s}}=\frac{1}{1-2^{-s}}\cdot \frac{1}{1-3^{-s}}\cdot \frac{1}{1-5^{-s}}\cdot \frac{1}{1-7^{-s}}\cdots \frac{1}{1-p^{-s}}\cdots }$

donde el producto infinito se extiende sobre el conjunto de todos los números primos p, y de nuevo converge para los complejos s cuya parte real sea mayor que 1. La convergencia del producto de Euler muestra que ζ(s) no tiene ceros en esta región, puesto que ninguno de los factores tiene ceros. La hipótesis de Riemann trata de los ceros fuera de la región de convergencia de la suma de la serie descrita anteriormente y del producto de Euler asociado. Para preservar el sentido de esta hipótesis es necesario prolongar analíticamente la función zeta de Riemann ζ(s) de forma que tenga sentido para cualquier valor de s. En particular se puede expresar mediante la siguiente ecuación funcional:

${\displaystyle \zeta (s)=2^s{\pi }^{s-1}\mathrm{sen}\left(\frac{\pi s}{2}\right)\mathrm{\Gamma }(1-s)\zeta (1-s)}$

válida para todos los números complejos excepto para s = 1, donde la función tiene un polo. Como se decía anteriormente, la hipótesis de Riemann trata de los ceros de esta versión de la función zeta extendida analíticamente. Esta posee ciertos valores, llamados ceros "triviales", para los cuales la función zeta se anula. De la ecuación se puede ver que s = −2, s = −4, s = −6, ... (todos los enteros pares negativos) son ceros triviales. Así mismo, existen otros valores complejos s, que cumplen la condición 0 < Re(s) < 1, para los cuales la función zeta también se anula, son los llamados ceros "no triviales". La conjetura de Riemann hace referencia a estos ceros no triviales afirmando:

La parte real de todo cero no trivial de la función zeta de Riemann es 1/2

Por lo tanto los ceros no triviales deberían encontrarse en la línea crítica s = 1/2 + i t, donde t es un número real e i es la unidad imaginaria. La función zeta de Riemann, a lo largo de la línea crítica ha sido estudiada en términos de la función Z, cuyos ceros corresponden a los ceros de la función zeta sobre la línea crítica.

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Autor(es): Jorge Jiménez Urroz

Editorial: EMSE EDAPP

Páginas: 144

Tamaño: 16 x 23,5 cm.

Año: 2023