El conjunto de Mandelbrot es el más conocido de los conjuntos fractales y el más estudiado. Se conoce así en honor al matemático Benoît Mandelbrot (1924-2010), que investigó sobre él en los años setenta.
Este conjunto se define así, en el plano complejo:
Sea c un número complejo cualquiera. A partir de c, se construye una sucesión por recursión:
Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice que c pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido del mismo.
Por ejemplo, si c = 1 obtenemos la sucesión 0, 1, 2, 5, 26… que
diverge. Como no está acotada, 1 no es un elemento del conjunto de
Mandelbrot.
En cambio, si c = –1 obtenemos la sucesión 0, –1, 0, –1,… que sí es
acotada, y por tanto, –1 sí pertenece al conjunto de Mandelbrot.
A menudo se representa el conjunto mediante el algoritmo de tiempo de escape.
En ese caso, los colores de los puntos que no pertenecen al conjunto
indican la velocidad con la que diverge (tiende al infinito, en módulo)
la sucesión correspondiente a dicho punto. En la imagen de ejemplo,
observamos que el rojo oscuro indica que al cabo de pocos cálculos se
sabe que el punto no está en el conjunto mientras que el blanco informa
de que se ha tardado mucho más en comprobarlo. Como no se puede calcular
un sinfín de valores, es preciso poner un límite y decidir que si los p
primeros términos de la sucesión están acotados entonces se considera
que el punto pertenece al conjunto. Al aumentar el valor de p se mejora la precisión de la imagen.
Por otra parte, se sabe que los puntos cuya distancia al origen es superior a 2, es decir, no pertenecen al conjunto. Por lo tanto basta encontrar un solo término de la sucesión que verifique |zn| > 2 para estar seguro de que c no está en el conjunto.
Por otra parte, se sabe que los puntos cuya distancia al origen es superior a 2, es decir, no pertenecen al conjunto. Por lo tanto basta encontrar un solo término de la sucesión que verifique |zn| > 2 para estar seguro de que c no está en el conjunto.
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